-
Witam
Jestem studentem Wyższej Szkoły Ekonomii i Informatyki w Krakowie, oraz absolwentem Liceum Ogólnokształcącego im. gen. W. Andersa w Lesku. Od 5 lat prowadzę zajęcia dydaktyczne z matematyki, a także z projektowania stron internetowych. Poniżej przedstawiam swój program naucznia.
1. Pierwsze zajęcia.
Jestem zwolennikiem filozofii Platona który twiedzi : ,, Najważniejszy w każdym działaniu jest początek." Stwierdzenie to dotyczy nie tylko matematyki, lecz każdej dziedziny naszego życia.
Pierwsze zajęcia są bezpłatne i polegają na weryfikacji wiedzy ogólnej ucznia, poprzez godzinny test zawierający elementy wszystkich działów matematyki. Test jest bardzo ważny ponieważ, pomaga ustalić poziom wiedzy ucznia oraz braki w nauczaniu . Matematyka jest przedmiotem w którym wszystkie działy oraz zagadnienia są ze zobą ściśle powiązane, w związku z tym nie można pozwolić sobie na braki programowe lub zaległości. Przykład - niemożliwe jest rozwiązanie układu równań liniowych jeśli, nie ma się zaległosći z algebry podstawowej, siegającej gimnazjum lub szkoły podstawowej. Braki te należy uzupełnić w pierwszej kolejności, w przeciwnym wypadku, będzie niemożliwe zagłębianie się w działy bardziej zaawansowane.
2. Współpraca z uczniem.
Na początku przeprowadzam konwersację z uczniem. Rozmawiamy o zainteresowaniach, planach, poglądach na różne tematy, muzyce, sporcie, komputerach itd. Chcę aby uczeń zrozumiał, iż jestem jego kolegą, który chce mu pomóc w nauce, do którego może się zawsze zwrócić o pomoc, a nie ,, kuratorem " wynajętym przez rodziców.
3.Motywacja ucznia do nauki.
Rodzice często wysyłają dziecko aby uczęszczało na zajęcia korepetycyjne, pomimo jego braku zainteresowania przedmiotem oraz chęcią edukacji. Staram się wtedy przedstawić uczniom matematykę w innym świetle. Jako programista oraz wykonawca stron internetowych, łączę matematykę z elementami informatyki. Staram się uświadomić uczniom iż iternet, portale takie jak nasza-klasa.pl, google.pl, komunikatory gadu-gadu, skype; gry kopmuterowe, play station, opierają się na matematyce. Zagłębiam ucznia w tematy projektowania stron internetowych.
Matematyka
Matematyka (gr. mathēmatik z máthēma – poznanie, umiejętność) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń[2]. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.
Wiele dziedzin nauki i technologii, w pewnym momencie zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby można było stosować do nich metody matematyczne, co często zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej lub stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Obecnie standardem w naukach eksperymentalnych jest potwierdzanie istnienia obserwowanych zależności za pomocą metod statystyki, będącej działem matematyki. Pozwala to odróżnić rzeczywiste wyniki od przypadkowej zbieżności. Leonardo da Vinci stwierdził w Traktacie o malarstwie: "Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie."
Matematyka teoretyczna (nazywana czasami matematyką czystą) jest często rozwijana bez wyraźnego związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez niektórych matematyków uważana za formę sztuki[3]. Jednak niektóre działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka lub informatyka. Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki wyłącznie o liczbach i pojęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry i teorii mnogości. Matematyka wchłonęła także logikę.
Definicje i wizje matematyki
Paul Dirac stwierdził "Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji, i nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie" [4]
Benjamin Peirce nazwał ją "nauką, która wyciąga właściwe wnioski"[5]
Jules Henri Poincaré określił matematykę jako "sztukę nadawania takich samych nazw różnym rzeczom"[6]. Oddaje to jedną z piękniejszych cech matematyki, zdolnej uogólniać właściwości i czynić analogie między bardzo odległymi i wydawałoby się mało ze sobą związanymi obiektami.
David Hilbert uznał, że "sztuka uprawiania matematyki zawiera się w znajdowaniu szczególnych przypadków, które zawierają w sobie zalążki uogólnień"[7]
Poeta William Wordsworth stwierdził: "Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję"[8]. Z czasem niektóre działy matematyki stały się odrębnymi światami, uprawianymi wyłącznie dla ich piękna, bez jakiegokolwiek związku z rzeczywistością. Henry John Stephen Smith stwierdził wprost "Czysta matematyko, obyś nigdy nie była przez nikogo używana". Z drugiej strony Nikołaj Łobaczewski uznał, że "Nie ma gałęzi matematyki, choćby nie wiem jak abstrakcyjnej, która pewnego dnia nie zostałaby zastosowana do zjawisk realnego świata"[10] Wyprzedził tą wypowiedzią o pół wieku postępy fizyki, która stosuje w praktyce działy matematyki, przed jej epoką uważane za domenę czystej myśli, niezbrukanej zastosowaniami. Immanuel Kant stwierdził "Matematyka jest najjaskrawszym przykładem, jak czysty rozum może skutecznie rozszerzać swoją domenę bez jakiejkolwiek pomocy doświadczenia".
Geometria
Geometria zajmowała się kolejno przestrzeniami euklidesowymi, sferycznymi, afinicznymi i rzutowymi, hiperbolicznymi, ogólniej rozmaitościami Riemanna i w końcu stałą się dziedziną badającą dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. Topologia (zwana początkowo "geometrią położenia") w elementarnej wersji jest nauką badającą te właściwości geometryczne, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich należy na przykład liczba otworów, jakie znajdują się w danej bryle geometrycznej. Często (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do zbiorów przeliczalnych. Do matematyki dyskretnej zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC)
kombinatoryka
kryptologia
logika matematyczna
programowanie liniowe
teoria gier (pewne działy)
teoria grafów
teoria informacji (elementarna jej część)
teoria liczb (po części)
teoria matroidów
teoria węzłów (częściowo)
teoria konfiguracji
geometria skończona
algorytmika
teoria złożoności
Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka zajmuje się wnioskowaniem o całej populacji nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. próby statystycznej).
Matematyka stosowana jest nauką rozwijającą aparat matematyczny na potrzeby innych nauk i techniki.
Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. Jeśli rozumowanie matematyczne jest poprawne, to przy poprawnych założeniach istnieje pewność otrzymania poprawnych wniosków. Jeśli w rozumowaniu jest jakakolwiek nieścisłość, takiej gwarancji nie ma. Stąd wynika olbrzymi nacisk, kładziony w matematyce na ścisłość rozumowania. W utrzymaniu tej ścisłości pomaga omawiany dalej formalizm logiczny oraz zapis matematyczny.
Nie znaczy to, że w matematyce wyobraźnia, głębia, czy intuicja nie są ważne. Matematyka nie może sensownie istnieć bez aparatu formalnego, ale formalizm tworzy tylko ramy dla inwencji i twórczego myślenia matematyka, podobnie jak gramatyka języka tworzy ramy dla inwencji pisarza. Formalizm, choćby w praktyce tylko przybliżony, jest metodą obiektywnego porozumiewania się matematyków. Można używać do omawiania pojęć matematycznych zwykłego języka naturalnego, jednak ma to sens tylko tak długo, jak długo da się taki opis jednoznacznie przetłumaczyć na formalizm (nawet jeśli to tłumaczenie nie jest w praktyce wykonane).
Formalna struktura matematyki wygląda następująco:
Wybierany jest tzw. alfabet złożony ze skończonej liczby rozróżnialnych znaków (np. liter, cyfr, znaków matematycznych, itp.).
Tworzony jest język formalny, na który składają się słowa złożone ze znaków alfabetu.
Słowa tworzą wyrażenia, w tym zdania. Praktyczne teorie powinny pozwalać na mechaniczne (algorytmiczne) sprawdzanie, które ciągi symboli tworzą poprawnie zbudowane zdania oraz mieć jednoznaczną, dającą się algorytmicznie rozpoznać składnię[16].
Formalne języki służą za podstawę teoriom formalnym (wciąż ogólniejszym od matematycznych). Teoria formalna oprócz języka wprowadza pojęcie twierdzenia (specjalny rodzaj zdań poprawnie zbudowanych) i reguł dowodzenia.
Jedną z teorii formalnych jest logika matematyczna. Te z formalnych teorii, które zawierają logikę matematyczną, nazywane są teoriami matematycznymi. Większość teorii matematycznych zawiera też teorię mnogości. Wraz z logiką matematyczną (klasyczną) przychodzi formalne pojęcie prawdy, które można zdefiniować na wiele sposobów.
Teorią matematyczną nazywany jest formalnie dowolny niesprzeczny zbiór zdań. W praktyce z symboli języka formalnego wydziela się tzw. pojęcia pierwotne[17]. Na tym etapie o pojęciach pierwotnych nic jeszcze nie wiadomo. Na przykład pojęciami pierwotnymi dwuwymiarowej geometrii euklidesowej są punkt, prosta i relacja "punkt leży na prostej".
Zwykle budowana jest tzw. aksjomatyka, czyli wyróżniany jest zestaw zdań zwanych aksjomatami, mówiących o relacjach między pojęciami pierwotnymi[18]. Dla geometrii euklidesowej jednym z aksjomatów jest: "Przez każde dwa punkty można przeprowadzić prostą".
Używając reguł wnioskowania, można rozpoczynając od aksjomatów dowodzić rozmaitych twierdzeń danej teorii.
Teoria nie musi (i nie może) w żaden sposób odnosić się do innych cech pojęć pierwotnych niż te, które zostały wyrażone przez aksjomaty lub z nich wynikają. Jeśli jakieś pojęcia zostaną zdefiniowane w taki sposób, aby podstawione w miejsce pojęć pierwotnych teorii spełniały jej aksjomaty (operacja ta nazywa się interpretacją), twierdzenia teorii będą prawdziwe także dla tych nowo zdefiniowanych pojęć. Taki zestaw interpretacji pojęć pierwotnych nazywany jest modelem danej teorii. Modelem płaskiej geometrii euklidesowej jest np. kartezjański układ współrzędnych (ściślej tzw. przestrzeń kartezjańska), gdzie punkt interpretowany jest jako para liczb (zwanych współrzędnymi), prosta - jako zbiór punktów (x,y) spełniających równanie (yA − yB)(x − xB) − (xA − xB)(y − yB) = 0, natomiast relację "punkt leży na prostej" interpretuje się jako relację przynależności do tego zbioru.
Powyżej teoria matematyczna była opisywana z bardzo formalnego punktu widzenia, tzn. przez pryzmat operacji na symbolach matematycznych. Matematycy jednak zwykle nie wyobrażają sobie matematyki w ten sposób. Rozumują raczej w kategoriach przestrzeni i struktur, składających się z pewnego zbioru elementów (np. liczb) oraz działań i relacji między nimi (np. relacje porządku i działania algebraiczne). Zbiory wraz z różnego rodzaju powiązaniami pomiędzy ich elementami zwane są właśnie strukturami lub przestrzeniami. Na poziomie formalnym pojęcia te to synonimy pojęcia modelu, jednak koncepcyjnie podejście to pozwala skoncentrować się na bardziej uchwytnych obiektach (elementach przestrzeni), zamiast na formalnych manipulacjach symbolami. W praktyce matematycy niewiele wiedzą lub niewiele się przejmują powyższym formalizmem i daną teorię rozszerzają (czyli tworzą, formalnie mówiąc, nową teorię). Poprawne (w sensie praktycznym) dowody matematyczne muszą być jednak w odczuciu matematyków sprowadzalne do dowodów formalnych. Obecnie rozwija się skomputeryzowana formalizacja matematyki, pozwalająca na pełny formalny zapis dowodów dający się stosować w praktyce. Chociaż działalność matematyczna polega na tworzeniu nowych pojęć matematycznych i dowodzeniu twierdzeń na temat pojęć już istniejących, to taka definicja nie oddałaby wszelakich niuansów uprawiania matematyki. Jak stwierdził Gian-Carlo Rota: "Często słyszymy, że matematyka sprowadza się głównie do 'dowodzenia twierdzeń'. Czy praca pisarza sprowadza się głównie do 'pisania zdań'?" Wśród zagadnień filozoficznych związanych z matematyką można wyróżnić dwa główne bloki problemowe: blok problemów ontologicznych, tj. zagadnień istnienia, sposobów i kryteriów istnienia i natury bytów matematycznych, oraz korpus zagadnień epistemologicznych, tj. zagadnienia natury poznania matematycznego, granic poznania matematycznego i kryteriów prawdziwości poznania matematycznego. Początkiem sporu o naturę obiektów matematycznych była platońska koncepcja idei, którym Platon przypisał istnienie realne - stanowisko to stało się początkiem skrajnego realizmu pojęciowego. Przeciw Platonowi wystąpił Arystoteles, którego poglądy stały się początkiem umiarkowanego realizmu pojęciowego. W średniowieczu spór o sposób istnienia pojęć rozgorzał na nowo jako spór o uniwersalia - wykształciło się w nim nowe stanowisko, nominalizm, w ostatnich wiekach epoki dominujące. Wprawdzie filozofia starożytna i średniowieczna zajmowała się sporem o status ontyczny wszelkich pojęć, a nie tylko obiektów matematycznych, niemniej współczesne stanowiska w kwestii bytów matematycznych są zbliżone, a realizm pojęciowy i nominalizm nadal stanowią jedne z głównych stanowisk w filozofii matematyki. Jako samodzielny dział filozofia matematyki rozwinęła się dopiero pod koniec XIX w. dzięki zaistniałemu w tym okresie rozwojowi formalnych metod logiki. Według realizmu (nazywanego dla odróżnienia od innych stanowisk filozoficznych noszących tę nazwę antynominalizmem) uniwersalia istnieją realnie i niezależnie od egzemplifikujących je rzeczy. W filozofii matematyki analogicznie realiści twierdzą, że obiekty matematyczne to realnie istniejące lub skonstruowane poznawczo przedmioty abstrakcyjne. Realizm skrajny, zwany też platonizmem (w węższym znaczeniu) mówi, że obiekty matematyczne są pozaczasowymi, rzeczywistymi i obiektywnymi bytami, w przeciwieństwie do czasowych, przemijalnych i nie posiadających pełni istnienia przedmiotów zmysłowych i zjawisk. Nowocześniejszą formą realizmu jest konstruktywizm, odpowiednik dawnego konceptualizmu w sporze o uniwersalia, którego formą jest intuicjonizm. Według konstruktywistów obiekty matematyczne konstruuje się za pomocą wykonywalnych w skończonej liczbie kroków, konstrukcji. Nominalizm, który zarysował się w starożytności na gruncie rozważań na temat logiki Arystotelesa i jego komentatorów, zaczął przybierać dojrzałą postać w XII w. (Abelard, Roscelin), w pełni rozwinął się jednak dopiero w wieku XIV William Ockham. Nominaliści uważają, że pojęcia ogólne nie istnieją samodzielnie, są to tylko czyste nazwy (flatus vocis). Realiści przyjęli liberalne kryterium istnienia bytów matematycznych - obiekt matematyczny istnieje, jeśli nie jest wewnętrznie sprzeczny. Konstruktywiści przyjęli stanowisko rygorystyczne - kryterium istnienia obiektu matematycznego jest istnienie metody jego konstrukcji. Trzy główne XX-wieczne stanowiska w filozofii matematyki są rozbudowanymi wersjami stanowisk dawniejszych – formalizm jest wersją nominalizmu, intuicjonizm konstruktywizmu, logicyzm skrajnego realizmu pojęciowego. Według formalistów przedmiotem badań matematycznych nie są obiekty matematyczne, ale teorie dające się wyprowadzić z pewnych założonych zdań logicznych, zwanych aksjomatami. Aksjomaty są zapisywane w pewnym języku, którego niektóre elementy mogą się ludziom kojarzyć z obiektami matematycznymi, matematyka nie wymaga jednak ich istnienia w jakiejkolwiek postaci. Intuicjoniści głoszą, że cała matematyka może być oparta na pierwotnej intuicji ciągu liczb naturalnych oraz na uznawanej za intuicyjną zasadzie indukcji. Dopuszcza się wyłącznie konstrukcyjne dowody istnienia. Według intuicjonistów aktywność matematyczna umysłu ludzkiego ma charakter twórczy - konstruuje on obiekty matematyczne, nie odkrywa. Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym istnienia, ale nie warunkiem wystarczającym - byt matematyczny musi oprócz tego zostać skonstruowany. Intuicjoniści dokonują także reformy metodologii logiki formalnej uznając, że źródłem antynomii w matematyce jest brak oparcia w pierwotnych intuicjach, związany z nieuprawnionym przeniesieniem intuicji o przedmiotach nieskończonych na przedmioty skończone, posługiwaniem się nieostrymi terminami logiki klasycznej (głównie kwantyfikatorami ogólnymi) i przyjmowaną w logice klasycznej zasadą wyłączonego środka. Intuicjonizm w filozofii matematyki wywarł duży wpływ na ogólną problematykę ontologiczną, zwłaszcza filozofię Michaela Dummetta. Logicyzm głosi, że wszystkie twierdzenia matematyki można posługując się definicjami i regułami logicznymi zredukować do logiki. Głównymi twórcami klasycznych wersji logicyzmu są Gottlob Frege i Bertrand Russell. Główne stanowiska epistemologiczne w filozofii matematyki odpowiadają głównym kierunkom epistemologii. Empiryzm uznaje zdania matematyki za zdania empiryczne, aprioryzm, powiązany w filozofii matematyki z intuicjonizmem, za zdania analityczne a priori, według konwencjonalistów aksjomaty matematyki mają charakter odgórnie przyjętej konwencji.
